《pso算法公式》标准pso算法
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二进制PSO算法
PSO算法中每一粒子都被看是潜在的最优解，具体实现思路是先将粒子初始化，对于每个粒子都有一个当前位置以及根据适应度值做粒子更新的速度（Kennedy et al.，1995），通过迭代计算得到最优解。PSO粒子速度计算和对应位置更新的原理如式（8.1）、式（8.2）所示：
高光谱遥感影像信息提取技术
式中：xid是粒子；c1，c2是学习因子；w是惯性因子，是粒子速度保持更新之前粒子速度的能力；pid是目前单个粒子最优位置；pgd是整个粒子群目前得到的最优位置；rand是0～1之间的随机数。
二进制PSO首先将粒子初始化为0和1组成的序列。二进制PSO算法是对式（8.2）作些改变，其位置更新如式（8.3）所示（程志刚等，2007）：
高光谱遥感影像信息提取技术
式中： 是 Sigmoid 函数。
粒子群优化算法
姓名：杨晶晶 学号：21011210420 学院：通信工程学院
【嵌牛导读】
传统的多目标优化方法是将多目标问题通过加权求和转化为单目标问题来处理的,而粒子算法主要是解决一些多目标优化问题的（例如机械零件的多目标设计优化）,其优点是容易实现,精度高,收敛速度快。
【嵌牛鼻子】粒子群算法的概念、公式、调参以及与遗传算法的比较。
【嵌牛提问】什么是粒子群算法？它的计算流程是什么？与遗传算法相比呢？
【嵌牛正文】
1. 概念
粒子群优化算法(PSO：Particle swarm optimization) 是一种进化计算技术（evolutionary computation），源于对鸟群捕食的行为研究。
粒子群优化算法的基本思想：是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解。
PSO的优势：在于简单容易实现并且没有许多参数的调节。目前已被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域。
2. 算法
2.1 问题抽象
鸟被抽象为没有质量和体积的微粒(点)，并延伸到N维空间，粒子i在N维空间的位置表示为矢量Xi＝(x1，x2，…，xN)，飞行速度表示为矢量Vi＝(v1，v2，…，vN)。每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值(fitness value)，并且知道自己到目前为止发现的最好位置(pbest)和现在的位置Xi。这个可以看作是粒子自己的飞行经验。除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(gbest)(gbest是pbest中的最好值)，这个可以看作是粒子同伴的经验。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。
2.2 更新规则
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。
公式(1)的第一部分称为【记忆项】，表示上次速度大小和方向的影响；公式(1)的第二部分称为【自身认知项】，是从当前点指向粒子自身最好点的一个矢量，表示粒子的动作来源于自己经验的部分；公式(1)的第三部分称为【群体认知项】，是一个从当前点指向种群最好点的矢量，反映了粒子间的协同合作和知识共享。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。
以上面两个公式为基础，形成了PSO的标准形式。
公式(2)和 公式(3)被视为标准PSO算法。
2.3 标准PSO算法流程
标准PSO算法的流程：
1）初始化一群微粒(群体规模为N)，包括随机位置和速度；
2）评价每个微粒的适应度；
3）对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置pbest作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置pbest；
4）对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置gbest作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置gbest；
5）根据公式(2)、(3)调整微粒速度和位置；
6）未达到结束条件则转第2）步。
迭代终止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数Gk或(和)微粒群迄今为止搜索到的最优位置满足预定最小适应阈值。
公式(2)和(3)中pbest和gbest分别表示微粒群的局部和全局最优位置。
当C1＝0时，则粒子没有了认知能力，变为只有社会的模型(social-only)：
被称为全局PSO算法。粒子有扩展搜索空间的能力，具有较快的收敛速度，但由于缺少局部搜索，对于复杂问题
比标准PSO 更易陷入局部最优。
当C2＝0时，则粒子之间没有社会信息，模型变为只有认知(cognition-only)模型：
被称为局部PSO算法。由于个体之间没有信息的交流，整个群体相当于多个粒子进行盲目的随机搜索，收敛速度慢，因而得到最优解的可能性小。
2.4 参数分析
参数：群体规模N，惯性因子 ，学习因子c1和c2，最大速度Vmax，最大迭代次数Gk。
群体规模N：一般取20～40，对较难或特定类别的问题可以取到100～200。
最大速度Vmax：决定当前位置与最好位置之间的区域的分辨率(或精度)。如果太快，则粒子有可能越过极小点；如果太慢，则粒子不能在局部极小点之外进行足够的探索，会陷入到局部极值区域内。这种限制可以达到防止计算溢出、决定问题空间搜索的粒度的目的。
权重因子：包括惯性因子和学习因子c1和c2。使粒子保持着运动惯性，使其具有扩展搜索空间的趋势，有能力探索新的区域。c1和c2代表将每个粒子推向pbest和gbest位置的统计加速项的权值。较低的值允许粒子在被拉回之前可以在目标区域外徘徊，较高的值导致粒子突然地冲向或越过目标区域。
参数设置：
1)如果令c1＝c2＝0，粒子将一直以当前速度的飞行，直到边界。很难找到最优解。
2)如果＝0，则速度只取决于当前位置和历史最好位置，速度本身没有记忆性。假设一个粒子处在全局最好位置，它将保持静止，其他粒子则飞向它的最好位置和全局最好位置的加权中心。粒子将收缩到当前全局最好位置。在加上第一部分后，粒子有扩展搜索空间的趋势，这也使得的作用表现为针对不同的搜索问题，调整算法的全局和局部搜索能力的平衡。较大时，具有较强的全局搜索能力；较小时，具有较强的局部搜索能力。
3)通常设c1＝c2＝2。Suganthan的实验表明：c1和c2为常数时可以得到较好的解，但不一定必须等于2。Clerc引入收敛因子(constriction factor) K来保证收敛性。
通常取为4.1,则K＝0.729.实验表明，与使用惯性权重的PSO算法相比，使用收敛因子的PSO有更快的收敛速度。其实只要恰当的选取和c1、c2，两种算法是一样的。因此使用收敛因子的PSO可以看作使用惯性权重PSO的特例。
恰当的选取算法的参数值可以改善算法的性能。
3. PSO与其它算法的比较
3.1 遗传算法和PSO的比较
1)共性：
(1)都属于仿生算法。
(2)都属于全局优化方法。
(3)都属于随机搜索算法。
(4)都隐含并行性。
(5)根据个体的适配信息进行搜索，因此不受函数约束条件的限制，如连续性、可导性等。
(6)对高维复杂问题，往往会遇到早熟收敛和收敛 性能差的缺点，都无法保证收敛到最优点。
2)差异：
(1)PSO有记忆，好的解的知识所有粒子都保 存，而GA（Genetic Algorithm），以前的知识随着种群的改变被改变。
(2)PSO中的粒子仅仅通过当前搜索到最优点进行共享信息，所以很大程度上这是一种单共享项信息机制。而GA中，染色体之间相互共享信息，使得整个种群都向最优区域移动。
(3)GA的编码技术和遗传操作比较简单，而PSO相对于GA，没有交叉和变异操作，粒子只是通过内部速度进行更新，因此原理更简单、参数更少、实现更容易。
(4)应用于人工神经网络(ANN)
GA可以用来研究NN的三个方面：网络连接权重、网络结构、学习算法。优势在于可处理传统方法不能处理的问题，例如不可导的节点传递函数或没有梯度信息。
GA缺点:在某些问题上性能不是特别好；网络权重的编码和遗传算子的选择有时较麻烦。
已有利用PSO来进行神经网络训练。研究表明PSO是一种很有潜力的神经网络算法。速度较快且有较好的结果。且没有遗传算法碰到的问题。
[img]pso的约束优化
约束优化问题的目标是在满足一组线性或非线性约束的条件下，找到使得适应值函数最优的解。对于约束优化问题，需要对原始PSO算法进行改进来处理约束。
一种简单的方法是，所有的微粒初始化时都从可行解开始，在更新过程中，仅需记住在可行空间中的位置，抛弃那些不可行解即可。该方法的缺点是对于某些问题，初始的可行解集很难找到。或者，当微粒位置超出可行范围时，可将微粒位置重置为之前找到的最好位置，这种简单的修正就能成功找到一系列Benchmark问题的最优解。Paquet让微粒在运动过程中保持线性约束，从而得到一种可以解决线性约束优化问题的PSO算法。Pulido引入扰动算子和约束处理机制来处理约束优化问题。Park提出一种改进的PSO算法来处理等式约束和不等式约束。
另一种简单的方法是使用惩罚函数将约束优化问题转变为无约束优化问题，之后再使用PSO算法来进行求解。Shi将约束优化问题转化为最小—最大问题，并使用两个共同进化的微粒群来对其求解。谭瑛提出一种双微粒群的PSO算法，通过在微粒群间引入目标信息与约束信息项来解决在满足约束条件下求解目标函数的最优化问题。Zavala在PSO算法中引入两个扰动算子，用来解决单目标约束优化问题。
第三种方法是采用修复策略，将微粒发现的违反约束的解修复为满足约束的解。
约束满足
PSO算法设计的初衷是用来求解连续问题，，对微粒的位置和速度计算公式进行了重新定义，使用变量和它的关联变量存在的冲突数作为微粒的适应度函数，并指出该算法在求解约束满足问题上具有一定优势。Lin在Schoofs工作的基础上研究了使用PSO算法来求解通用的n元约束满足问题。杨轻云在Schoofs工作的基础上对适应度函数进行了改进，把最大度静态变量序列引入到适应度函数的计算中。
pso的离散算法
很多优化问题涉及到离散或二值的变量，典型的例子包括调度问题或路由问题。而PSO算法的更新公式和过程是面向连续空间并为其设计的，因此需要做一些修改使之适应离散空间的情况。编码的修改可能很简单，难点在于定义速度的意义和确定轨迹的变化。
Kennedy定义了第一个离散二进制版本的PSO算法。微粒使用二进制字符串进行编码。通过使用sigmoid函数，速度被限制在[0, 1]区间之内，并被解释为“概率的变化”。Yang对该方法在量子空间进行了扩展。
Mohan提出了几种二进制方法（直接方法、量子方法、正则方法、偏差向量方法以及混合方法），但是从有限的实验中没有得出什么结论。Clerc对一些专用于某些约束优化问题如TSP问题的PSO算法变种进行了试验，结果显示该方法比较有前途。Pang使用模糊矩阵来表示微粒的位置和速度，对PSO算法的算符进行了重定义，并将其应用到TSP问题的求解。Pampara将PSO算法与信号处理中的角调制技术结合起来，将高维二进制问题降维为一个在连续空间中定义的四维问题，并通过求解该四维问题来获得原问题的解。Afshinmanesh重新定义了离散PSO算法中的加法与乘法，并使用人工免疫系统中的阴性选择来实现速度限制Vmax。
Hu提出了一种改进PSO算法来处理排列问题。微粒被定义为一组特定值的排列，速度基于两个微粒的相似度重新定义，微粒根据由它们的速度所定义的随机率来变换到一个新的排列。引入了一个变异因子来防止当前的pBest陷入局部最小。在n皇后问题上的初步研究显示改进的PSO算法在解决约束满意问题方面很有前途。
Migliore对原始的二进制PSO算法进行了一些改进，提出了可变行为二进制微粒群算法（VB-BPSO）和可变动态特性二进制微粒群算法（VD-BPSO）。VB-BPSO算法按照连续PSO算法的速度更新公式的思想设计了一个新的速度更新公式，用来确定微粒位置向量每一位为1的概率。而VD-BPSO算法则是根据一定规则在两组不同参数确定的VB-BPSO算法之间切换。Migliore应用该算法设计出一种简单鲁棒的自适应无源天线。
Parsopoulos以标准函数为例测试微粒群优化算法解决整数规划问题的能力。Salman将任务分配问题抽象为整数规划模型并提出基于微粒群优化算法的解决方法。两者对迭代产生的连续解均进行舍尾取整后评价其质量。但是PSO算法生成的连续解与整数规划问题的目标函数评价值之间存在多对一的映射，以整型变量表示的目标函数不能准确反映算法中连续解的质量，而由此导致的冗余解空间与相应的冗余搜索降低了算法的收敛效率。
高尚采用交叉策略和变异策略，将PSO算法用来解决集合划分问题。赵传信重新定义了微粒群位置和速度的加法与乘法操作，并将PSO算法应用到0/1背包问题求解中。EL-Gallad在PSO算法中引入探索和勘探两个算子，用于求解排序问题。Firpi提出了BPSO算法的一种保证收敛的版本（但是并未证明其保证收敛性），并将其应用到特征选择问题。
上述离散PSO算法都是间接的优化策略，根据概率而非算法本身确定二进制变量，未能充分利用PSO算法的性能。在处理整数变量时，PSO算法有时候很容易陷入局部最小。原始PSO算法的思想是从个体和同伴的经验进行学习，离散PSO算法也应该借鉴该思想。高海兵基于传统算法的速度—位移更新操作，在分析微粒群优化机理的基础上提出了广义微粒群优化模型（GPSO），使其适用于解决离散及组合优化问题。GPSO 模型本质仍然符合微粒群优化机理，但是其微粒更新策略既可根据优化问题的特点设计，也可实现与已有方法的融合。基于类似的想法，Goldbarg将局部搜索和路径重连过程定义为速度算子，来求解TSP问题。
什么是粒子群算法？
粒子群算法，也称粒子群优化算法（Partical Swarm Optimization），缩写为 PSO， 是近年来发展起来的一种新的进化算法(（Evolu2tionary Algorithm - EA）。PSO 算法属于进化算法的一种，和遗传算法相似，它也是从随机解出发，通过迭代寻找最优解，它也是通过适应度来评价解的品质，但它比遗传算法规则更为简单，它没有遗传算法的“交叉”(Crossover) 和“变异”(Mutation) 操作，它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，并且在解决实际问题中展示了其优越性。设想这样一个场景：一群鸟在随机搜索食物。在这个区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物在那里。但是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢。最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。 PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。我们称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。 PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个”极值”来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值pBest。另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值gBest。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。 粒子公式 在找到这两个最优值时，粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置： v[] = w * v[] + c1 * rand() * (pbest[] - present[]) + c2 * rand() * (gbest[] - present[]) (a) present[] = persent[] + v v[] 是粒子的速度, w是惯性权重,persent[] 是当前粒子的位置. pbest[] and gbest[] 如前定义 rand () 是介于（0， 1）之间的随机数. c1, c2 是学习因子. 通常 c1 = c2 = 2. 程序的伪代码如下 For each particle ____Initialize particle END Do ____For each particle ________Calculate fitness value ________If the fitness value is better than the best fitness value (pBest) in history ____________set current value as the new pBest ____End ____Choose the particle with the best fitness value of all the particles as the gBest ____For each particle ________Calculate particle velocity according equation (a) ________Update particle position according equation (b) ____End While maximum iterations or minimum error criteria is not attained 在每一维粒子的速度都会被限制在一个最大速度Vmax，如果某一维更新后的速度超过用户设定的Vmax，那么这一维的速度就被限定为Vmax
咨询一个最简单的PSO算法的程序
%——基本粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization）———–
%——作用：求解优化问题
%——初始格式化———-
format long;
c1=1.4962; %学习因子1
c2=1.4962; %学习因子2
w=0.7298; %惯性权重
MaxDT=1000; %最大迭代次数
D=10; %搜索空间维数（未知数个数）
N=40; %初始化群体个体数目
eps=10^(-6); %设置精度(在已知最小值时候用)
%——初始化种群的个体(可以在这里限定位置和速度的范围)————
for i=1:N
for j=1:D
x(i,j)=randn; %随机初始化位置
v(i,j)=randn; %随机初始化速度
end
end
%——先计算各个粒子的适应度，并初始化Pi和Pg———————-
for i=1:N
p(i)=fitness(x(i,:),D);
y(i,:)=x(i,:);
end
pg=x(1,:); %Pg为全局最优
for i=2:N
if fitness(x(i,:),D)
pg=x(i,:);
end
end
%——进入主要循环，按照公式依次迭代，直到满足精度要求————
for t=1:MaxDT
for i=1:N
v(i,:)=w*v(i,:)+c1rand(y(i,:)-x(i,:))+c2rand(pg-x(i,:));
x(i,:)=x(i,:)+v(i,:);
if fitness(x(i,:),D)p(i)
p(i)=fitness(x(i,:),D);
y(i,:)=x(i,:);
end
if p(i)
pg=y(i,:);
end
end
Pbest(t)=fitness(pg,D);
end
%——最后给出计算结果
disp(‘**********************************************************’)
disp(‘函数的全局最优位置为：’)
Solution=pg
disp(‘最后得到的优化极值为：’)
Result=fitness(pg,D)
disp(’**********************************************************‘)
%——算法结束—
如果想要适应度函数源程序（fitness.m），可以再联系
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